Фамилия Бабинкин — яркий пример того, как одно и то же слово могло стать основой для фамилий в разных социальных слоях, но с разными «приставками»-суффиксами. Корень здесь — «баб-», от слова «баба». Но это не обязательно про женщину. В древнерусских говорах «бабой» называли не только крестьянку или жену, но и особый вид рыбацкой снасти (подлёдная сеть-«баба»), а также деревянный молот-трамбовку («баба» для забивания свай). Именно от прозвища или профессии, связанной с этими орудиями, и пошла фамилия.

Модель образования необычна. У нас двойной суффикс: сначала -к-, потом -ин. Первый суффикс (-к-) уменьшительный или уничижительный: Бабинка — это мог быть сын Бабы (прозвище ребёнка или молодого человека). Второй суффикс (-ин) уже указывает на принадлежность: «чей?» — Бабинкин. То есть фамилия буквально значит «сын того, кого звали Бабинка». Это более редкая и архаичная форма, чем просто Бабин или Бабкин. Она характерна для северных и центральных областей России, где любили многоступенчатые фамилии на -ин.

Сравните с однокоренными: Бабин — прямая притяжательность от «Баба» (сын Бабы). Бабкин — от «Бабка» (бабушка или повитуха). А Бабинкин — это уже «внук»: внук Бабы, чей отец (Бабинка) уже выделился в самостоятельное прозвище. Такая цепочка указывает на глубокую укоренённость семьи в одном месте: прозвище передавалось через поколение.

Версия с профессией тоже имеет право на жизнь. Если предок был рыбаком и использовал сеть-«бабу», его могли прозвать Бабой, а сына — Бабинкой. Или если он работал с тяжёлой трамбовкой («бабой») на стройке или в кузнечном деле. В любом случае, фамилия Бабинкин — не дворянская (типично крестьянская или посадская), и её носители в большинстве были людьми рабочего сословия, жившими оседло.

Встречается фамилия редко, преимущественно в Вологодской, Костромской и Кировской областях. Если вы носитель этой фамилии, скорее всего, ваши предки — крестьяне или ремесленники из Русского Севера, где сохранились такие громоздкие, но точные фамильные формы.