Фамилия Баднина — женская форма, но в основе лежит мужское прозвище Бадня. Разбирать её стоит не с корня, а с редкого диалектного слова, которое легло в основу. В архангельских говорах «бадня» — это полугнилой коряжник, бурелом или дерево, подмытое и сваленное бурей в воду. Слово живописное и точное: так называли лес, который уже не годится в дело, но ещё держится в реке или на берегу.

Прозвище Бадня могли дать человеку, который жил рядом с таким лесом — например, в глухой таёжной местности, где буреломы обычное дело. Другая версия: прозвище указывало на внешность или характер. В народной речи «бадня» могло ассоциироваться с чем-то корявым, неуклюжим или медлительным, как подмытое дерево, которое вот-вот рухнет. Но первая версия — географическая — выглядит правдоподобнее, особенно если учесть, что фамилия явно северного происхождения.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Баднина — «дочь (или жена) Бадни». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ или имён, оканчивающихся на -а/-я. В мужском варианте фамилия звучала бы как Баднин, но в быту и документах чаще встречается именно женская форма — по той же логике, что и «Ильина» от «Илья».

Фамилия редкая. В современных справочниках она почти не встречается, что подтверждает её локальный характер: скорее всего, она закрепилась в нескольких семьях на Русском Севере, возможно, в Архангельской области или соседних регионах. Если ваши предки носили фамилию Баднина, есть шанс, что они происходят из поморских или лесных деревень, где люди веками жили рядом с тайгой и реками.

Сравните с однокоренными фамилиями: Баднин, Баднов, Бадня. Все они редки и, вероятно, восходят к тому же корню. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» подобные образования не описаны, но это не делает фамилию менее интересной — напротив, она сохранила память о местном слове, которое почти исчезло из живого языка.