Фамилия Бадренкова — женская форма от Бадренков, и её разбор стоит начать с суффикса. Модель на -ов/-ев в русских фамилиях обычно указывает на принадлежность: Бадренков — это «сын Бадрена» или «человек из рода Бадрена». Основа Бадрен- явно производная, и здесь есть несколько версий происхождения, но самая прямая и правдоподобная связана с диалектным словом «бадрень» или «бадря» — так в некоторых говорах называли упрямого, своенравного человека, иногда с оттенком «бодрый» или «задорный». В словаре Даля зафиксировано «бадрить» — бодрить, ободрять, но с пометой, что слово это областное. Таким образом, прозвище Бадреня или Бадрень мог получить человек с живым, неунывающим характером, а позже оно превратилось в фамилию.

Менее вероятная, но встречающаяся в ономастике версия — от тюркского имени Бадр (арабское «полная луна»), которое через уменьшительную форму Бадрен могло попасть в русскую среду. Однако для фамилии с суффиксом -ов такое объяснение слабее: тюркские основы чаще дают фамилии без уменьшительных русских суффиксов или с суффиксом -ин. Поэтому версия с русским диалектным прозвищем выглядит убедительнее.

География фамилии Бадренковых не широкая, но устойчивая. Основные очаги — Центральная Россия и Поволжье, особенно Нижегородская и Костромская области. В этих краях слово «бадрень» в значении «бодряк» или «задира» действительно бытовало, что подтверждает связь фамилии с местным говором. Встречаются и написания с одной «н» — Бадренова, но вариант с удвоенной согласной (Бадренкова) фиксируется в документах чаще, что может указывать на более позднюю паспортную унификацию.

С точки зрения сословной принадлежности, Бадренковы — типичная крестьянская или мещанская фамилия. В дворянских родословных книгах она не отмечена, что логично: прозвищная основа, без связи с именитыми предками. В XIX веке носители фамилии встречаются в ревизских сказках как государственные крестьяне, реже — как мещане в уездных городах.

Таким образом, фамилия Бадренкова — не загадка, а пример того, как живое диалектное слово, описывающее характер, закрепилось в родовом имени. Ваш предок, скорее всего, был человеком бойким и неспокойным — «бадрень», которого так и прозвали в своей деревенской среде.