Фамилия Баешу — нетипичная для русского уха, и в этом её главная загадка. Судя по структуре, перед нами не исконно русская, а скорее молдавская или румынская фамилия. В молдавском и румынском языке фамилии на -ешу (например, Гицу, Стурдза, Баешу) образуются от личных имён или прозвищ с помощью суффикса, указывающего на принадлежность или происхождение. Обычно это соответствует русским фамилиям на -ов или -ин: Баешу примерно значит «сын Бая» или «из рода Бая».

Основа Бае- восходит к собственному имени Baiu или Băiu, которое, в свою очередь, может быть производным от тюркского слова bai («богатый», «знатный») или от молдавского глагола a băi («купать», «мыть»). В первом случае предок мог получить прозвище Бай как богатый или уважаемый человек, во втором — прозвище могло относиться к банщику или человеку, жившему у воды. В Молдавии и на юго-западе Украины (в Черновицкой, Одесской областях) такие фамилии встречаются до сих пор.

В русском контексте фамилия Баешу — явный след переселения или смешения культур. Она могла появиться у потомков молдавских крестьян, которые после присоединения Бессарабии к Российской империи в XIX веке переезжали в центральные губернии. Или же у выходцев из румынских княжеств, осевших в Новороссии. В любом случае, это не фамилия, образованная от русского слова «баять» (говорить) — суффикс -ешу для славянских языков нехарактерен. Если бы основа была славянской, мы бы получили Баев или Баешников, но не Баешу.

Таким образом, носитель фамилии Баешу почти наверняка имеет предков из молдавского или румынского ареала, а сама фамилия — это отчество от имени или прозвища Бай. Встречается она редко, что делает её хорошим маркером для генеалогического поиска: обладатели этой фамилии в России, скорее всего, являются родственниками или происходят из одного села.