Фамилия Багачанская — редкий случай, когда географическая основа почти наверняка перевешивает прозвищную. Перед нами типичная «географическая» фамилия, образованная по модели «название места + -ский/-ская». Такие фамилии давали переселенцам, дворянам по названию вотчины, а в духовном сословии — семинаристам по месту рождения или приходу. Суффикс -ская указывает на принадлежность к местности, и здесь он говорит о том, что предок носительницы фамилии был откуда-то с названием вроде Багачаны, Багачан или Багачань.

Что скрывается за этим корнем? Самая прямая версия — топоним Багачан. В Забайкалье есть река Багачан (приток Витима), а в Иркутской области — посёлок с таким же названием. Слово, скорее всего, тунгусо-маньчжурского или эвенкийского происхождения: «бага» на эвенкийском может означать «место», «земля», а суффикс -чан — уменьшительный или указывающий на принадлежность. То есть Багачан — это «маленькое место» или «землянка». Если предки были оттуда, фамилия могла возникнуть у священника, получившего приход в том краю, или у крестьянина, переехавшего в центральную Россию и записанного по старому месту жительства.

Менее вероятный, но возможный путь — прозвище Багачан. В некоторых говорах «багач» — это богач, зажиточный человек (от тюркского «бай» — богатый). Форма Багачан могла быть ласкательной или ироничной: «богатенький», «богачонок». Но в этом случае фамилия скорее приняла бы форму Багачанов, а не Багачанский. Суффикс -ский прочно привязан к местности, поэтому версия с прозвищем слабее.

Встречается фамилия и в украинском контексте: в селе Багачан (Черкасская область) или Багач (Полтавщина). Там корень «багач» уже чисто славянский — от «багатий» (богатый). Но опять же, фамилия Багачанский/Багачанская в украинской традиции чаще означала бы «из Багача», а не «сын богача».

Таким образом, наиболее правдоподобно, что фамилия Багачанская — это указание на сибирский или южнорусский топоним, связанный с эвенкийским или тюркским словом «бага». Носительница фамилии, скорее всего, происходит из семьи переселенцев или духовенства, чьи корни уходят в малонаселённые места Восточной Сибири или Украины.