Фамилия Багаевская — это женская форма фамилии Багаевский, и её происхождение напрямую связано с географическим названием. Перед нами типичный пример фамилии-топонима, образованной по модели «название места + суффикс -ск-». Такие фамилии в русской традиции указывали на то, что предок происходил из определённой местности или владел землёй в ней. В данном случае основа — «Багаев-», что отсылает к населённому пункту с корнем «Багай» или «Багаев».

Наиболее очевидная версия связывает фамилию с донской станицей Багаевской. Эта станица, основанная в XVII веке, стоит на реке Дон и дала название целому роду. Предки носителей фамилии Багаевская, скорее всего, были выходцами из этой станицы, причём необязательно казаками по сословию — переселенцы и крестьяне тоже получали такие фамилии по месту прежнего жительства. Интересно, что сама станица названа по фамилии или прозвищу основателя — некоего Багая, а тот корень, в свою очередь, может восходить к тюркскому слову «багай» (богатый, сильный) или к русскому диалектному «багай» (болотистое место, топь). Второй вариант правдоподобнее для донских земель, где много плавней и заболоченных участков.

В словообразовательном плане фамилия Багаевская стоит в ряду таких же «поселенческих» фамилий, как Ростовская, Тамбовская, Курская. Суффикс -ск- здесь — не просто указание на принадлежность, а маркер происхождения: Багаевская буквально означает «та, что из Багаева» или «из рода Багаевских». В дворянской среде такие фамилии могли закрепляться за поместьями, но для станицы Багаевской это маловероятно — скорее, фамилия получила распространение среди казачества и крестьянства юга России.

Встречается фамилия в двух основных вариантах написания: Багаевская (с двумя «а» в корне) и реже — Богаевская (с буквой «о», что отражает акающее произношение). Второй вариант, Богаевская, иногда путают с фамилией от слова «бог», но это ошибочное сближение: корень один и тот же, просто под влиянием говоров буква «а» перешла в «о». Таким образом, Багаевская — фамилия, крепко привязанная к конкретному месту на карте России, и её носители, скорее всего, имеют корни в Ростовской области или среди донского казачества.