Фамилия Багисов — редкий случай, где самое интересное находится не в корне, а в том, как этот корень оформлен. Суффикс -ов указывает на типичную русскую патронимическую модель («чей?» — сын Багиса), но само имя или прозвище Багис для русского уха звучит необычно. Это прямой намёк на иноязычное происхождение основы.

Скорее всего, в основе лежит тюркское или кавказское имя Багис (варианты: Багиш, Багыш). В тюркских языках корень «баг» (bag) означает «узел», «связка», «дар», а также «сад» (от персидского bāġ). Имя Багыш в прошлом нередко давали мальчикам с пожеланием, чтобы он был «связующим звеном» для семьи или «даром» (долгожданным ребёнком). Встречается это имя у татар, башкир, кумыков, а также у народов Кавказа (например, у азербайджанцев или лезгин). Таким образом, родоначальник Багисовых мог зваться Багисом, а его потомки, переходя в русскую среду (например, при крещении или при записи в ревизские сказки), получали фамилию по отцу — Багисов.

Вторая, менее вероятная, версия отсылает к русскому диалектному слову «багис» — так в некоторых говорах называли багровый или красноватый оттенок, либо болотистую, вязкую почву (от «багно»). Тогда прозвище Багис мог получить человек с красноватым лицом, рыжими волосами или, напротив, тот, кто жил у топкого места. Однако эта версия слабее: слово «багис» в этом значении почти не зафиксировано, а фамилии на -исов встречаются в основном в среде, где русский язык смешивался с тюркским.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Поволжью — регионам активных русско-тюркских контактов. В дореволюционных метрических книгах Багисовы встречаются среди крестьян и мещан Астраханской, Саратовской и Ставропольской губерний. Сословно это, скорее всего, были государственные крестьяне или казаки — никаких намёков на дворянство в родословных нет.

Итог: если вы Багисов, то с большой вероятностью ваши предки по мужской линии носили тюркское имя Багис, а сама фамилия — живое свидетельство многовекового соседства и смешения русских и тюркских культур на южных рубежах.