Фамилия Багой — редкая, и её происхождение неочевидно. В отличие от типичных русских фамилий на -ов или -ин, она имеет нулевое окончание и звучит как застывшая основа. Скорее всего, перед нами пример фамилии, образованной от прозвища или старого нецерковного имени без добавления патронимического суффикса.

Самая вероятная версия связывает фамилию с диалектным словом «багой». В южнорусских и украинских говорах «багой» могло означать «топкое место, болото, грязь» (родственное слову «багно»). Прозвище Багой давали либо человеку, жившему у болота, либо неряхе, который вечно ходит в грязи. Вторая, менее распространённая гипотеза, возводит основу к тюркскому «бага» — «лягушка». В таком случае фамилия могла появиться у народов Поволжья или казаков, контактировавших с тюрками, и тоже указывать на болотистую местность или насмешливое прозвище.

Интересна и словообразовательная модель. Фамилии с чистым корнем без суффикса (как Багой, Глухой, Сухой) в русской традиции встречаются реже, чем в украинской или белорусской. Это намекает на возможное западнорусское или украинское происхождение рода. Если бы фамилия была ранней, её бы «обрусили» суффиксом — получилось бы Багоев или Багойцев. Отсутствие суффикса говорит о том, что прозвище закрепилось как фамилия уже в позднее время, возможно, в среде казачества или однодворцев.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Украине. В дореволюционных метриках Багой встречается в Воронежской, Харьковской и Екатеринославской губерниях. Сословно носители были в основном крестьянами или казаками — никаких дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Таким образом, фамилия Багой — это либо «болотное» прозвище, либо редкий случай тюркского заимствования. Она показывает, как в одной короткой основе могут скрещиваться славянская диалектная лексика и степные влияния.