Фамилия Бакажинская — довольно редкая, и её происхождение уходит корнями в польскую или западнорусскую (белорусскую, украинскую) ономастику. Главная подсказка — суффикс -инская. В отличие от массовых русских фамилий на -ов/-ев или -ин, которые образуются от имени или прозвища отца, суффикс -ский/-цкий и его женская форма -ская указывают на дворянское или шляхетское происхождение. Такие фамилии часто давались по названию родового поместья или местечка. В данном случае женский род (Бакажинская, а не Бакажинский) говорит о том, что фамилия закрепилась в форме, характерной для женщин, либо изначально принадлежала роду, где мужчины носили вариант Бакажинский.

Основа фамилии — Бакаж- — скорее всего, происходит от географического названия. Наиболее вероятна связь с топонимом Бакажин или Бакажино. Такие названия могли возникнуть от личного имени или прозвища Бакаж. Корень «бак-» в славянских языках многозначен: он может восходить к слову «бака» (в диалектах — «сосуд», «кадка», а в переносном смысле — «толстяк», «пузатый человек»), либо к тюркскому «бак» (смотри, взгляд) или «бакша» (писарь, учитель). Однако для фамилии Бакажинская более правдоподобна версия с прозвищем от слова «бакать» — говорить, болтать, или от «бака» как «ротозей». Прозвище Бакаж мог получить говорливый или рассеянный человек.

Модель образования типична для шляхетских фамилий Речи Посполитой: владелец усадьбы Бакажин (от прозвища Бакаж) становился Бакажинским. После разделов Польши многие носители такой фамилии оказались в границах Российской империи, особенно в Гродненской, Минской, Волынской губерниях. Встречаемость фамилии сегодня крайне низкая, что говорит либо о вымирании рода, либо о смене фамилии потомками. Если ваши предки носили фамилию Бакажинская, с высокой вероятностью они происходили из мелкопоместной шляхты западных губерний, где фамилия сохранилась в женской форме из-за особенностей местного делопроизводства (в списках часто писали женщин по мужу или отцу с окончанием -ая/-ская).