Фамилия Бакашина — это форма женского рода от фамилии Бакашин. В русской традиции такие фамилии образовывались от мужских прозвищ и имен с помощью суффикса -ин, который указывал на принадлежность: «чей сын?» — Бакашин, то есть сын Бакаши. В центре внимания, таким образом, оказывается мужское прозвище или неканоническое имя Бакаша.

Самая вероятная основа — тюркское слово «бака» (лягушка). В тюркских языках, особенно в татарском и башкирском, «бака» означает именно лягушку. Прозвище Бакаша могли дать человеку за какую-то внешнюю особенность (например, за широкий рот или выпуклые глаза) либо за манеру поведения. В русских говорах слово «бака» тоже встречалось, но чаще в значении «лягушка» или «жаба», а также как диалектное обозначение большого глаза или пучеглазого человека. Таким образом, прозвище могло быть чисто русским, но с тем же смыслом.

Менее распространённая, но возможная версия связывает фамилию с глаголом «бакать» — в некоторых диалектах это означало «говорить, болтать, калякать». Тогда Бакаша — говорун, балагур. В пользу этой версии говорит наличие в русских говорах слова «бакулить» (разговаривать) и фамилий Бакулин, Бакулев.

Суффикс -ша в основе — уменьшительно-ласкательный или пренебрежительный, характерный для прозвищ (ср. Гриша, Тиша, а также прозвища вроде Кудряша, Малыш). Так что Бакаша — это не полное имя, а именно прозвище, которое закрепилось за человеком и перешло к его детям.

Географически фамилия Бакашин встречается преимущественно в центральных и южных регионах России, а также в Поволжье, что косвенно подтверждает её возможные тюркские корни — зона активных контактов с татарами и башкирами. Встречаются варианты написания Бакашов, но форма на -ин более типична для прозвищной основы.

Итог: предок носительницы фамилии Бакашина, скорее всего, получил прозвище Бакаша за внешнее сходство с лягушкой или за болтливый нрав. Фамилия не дворянская, а крестьянская или посадская, что типично для прозвищ такого типа.