Фамилия Бахминская — это женская форма, а мужская, соответственно, Бахминский. Такое окончание сразу указывает на географическое происхождение: по-видимому, предок носительницы этой фамилии был выходцем из населённого пункта с названием Бахмино, Бахминка или Бахмин. В русской ономастике суффикс -ский/-цкий традиционно закреплялся за дворянскими фамилиями, но в XIX веке его активно перенимали и крестьяне, особенно на западе и юге России, а также на Украине и в Белоруссии. Поэтому считать Бахминских исключительно дворянами не стоит — скорее, это фамилия по месту жительства, а не по сословной принадлежности.

Основа фамилии — топоним «Бахма» или «Бахмин». Само слово «бахма» в русских говорах — редкое. В словаре Даля оно отмечено как диалектное: «бахма» — это либо «неповоротливый, вялый человек», либо, в ином значении, «толстый обрубок, чурбан». Прозвище Бахма могли дать медлительному или грузному человеку. От этого прозвища пошло название деревни или хутора, а уже от неё — фамилия. Вторая версия, менее вероятная, связывает корень с тюркским «бахма» — «смотреть, глядеть» (отсюда же имя Бахман), но для русской фамилии такое происхождение скорее исключение.

Встречается фамилия Бахминская нечасто, но есть географические точки, где она заметна. По данным открытых источников, наибольшая концентрация носителей — в Беларуси (особенно в Витебской области) и на западе России (Смоленская, Брянская области). Это совпадает с зоной активного бытования фамилий на -ский у крестьян в XIX веке. В центральных и южных регионах России фамилия встречается эпизодически, как результат миграций.

Любопытная деталь: в некоторых переписях XIX века фигурирует написание «Бахминская» через «о» — «Бохминская». Это не ошибка, а следствие акающего произношения, когда безударное «а» звучало как «о». Такое чередование могло закрепиться в документах, и если вы встретите вариант с «о», это не другая фамилия, а просто фонетическая запись той же самой.