Фамилия Бахмутина — это женская форма, но в русской традиции она образована от мужской фамилии Бахмутин. Поэтому разбирать стоит именно мужской вариант, а женская форма просто наследует его происхождение.

В основе фамилии лежит прозвище или некалендарное имя Бахмута. Здесь работает типичная для восточнославянских фамилий модель: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?»), то есть Бахмутин — «сын Бахмуты». Разберем корень.

Самая вероятная версия связывает Бахмуту с тюркским словом «бахмут» (или «бахмат»). В тюркских языках, особенно в татарском и башкирском, «бахмат» означало «коренастый, низкорослый конь», а в переносном смысле — человека приземистого, плотного или упрямого. Прозвище Бахмута могли дать крепкому, невысокому мужчине с тяжелым характером. Учитывая, что в XV–XVII веках контакты русских с тюркскими народами были постоянными, такие заимствования в прозвищах — обычное дело.

Вторая, менее распространенная гипотеза, выводит имя Бахмута от христианского имени Вахмут (искаженная форма от Варфоломей или Вахрамей). Но тут слабое место: переход «в» в «б» встречается, но редко, и нет убедительных письменных свидетельств, что имя Вахмут было широко распространено. Версия с тюркским корнем выглядит надежнее.

Географически фамилия Бахмутин встречается в центральных и южных регионах России, особенно в Воронежской, Курской и Ростовской областях, а также в Поволжье. Это как раз зоны активного взаимодействия славянского и тюркского населения в прошлом. Если ваши предки были из этих мест, версия про «коренастого всадника» или просто «плотного человека» становится еще более конкретной.

Таким образом, Бахмутин — фамилия, образованная от прозвища по внешнему признаку или характеру, с высокой вероятностью тюркского происхождения. Никакого отношения к городу Бахмут (ныне Артёмовск) она не имеет — топоним появился позже и тоже, скорее всего, от того же тюркского корня, но фамилия от города не образовывалась.