Фамилия Баксанский — одна из тех, что сразу выдают географическое происхождение. В её основе лежит название реки Баксан, протекающей в Кабардино-Балкарии и впадающей в Малку. Это один из крупнейших притоков Терека, и его имя имеет древние корни: по одной из версий, оно восходит к тюркскому «бак» (смотри) и «сан» (число, вода), что могло означать «полноводная» или «обильная река». Таким образом, Баксанский — это типичный топонимический вариант: человек, чья семья жила на берегах этой реки или происходила из одноимённого населённого пункта.

Модель образования фамилии — суффикс -ск-, который в русской ономастике чаще всего указывает на принадлежность к местности или владению. Такие фамилии в основном получали дворяне и духовенство, но в XIX веке они распространились и среди других сословий, особенно при переезде в города или при получении паспортов. В случае с Баксанским велика вероятность, что предок был выходцем из станицы Баксанской или села Баксан (ныне это территория Кабардино-Балкарии), либо служил в этих краях — например, в казачьих войсках, которые несли охрану границ на Кавказе.

Интересно, что фамилия Баксанский встречается редко и не имеет массовых вариантов вроде Баксанов или Баксановский. Это говорит о её локальном бытовании: она могла закрепиться за одной-двумя ветвями рода, а не за целым сословием. В метрических книгах и переписях XIX века её носители, скорее всего, фиксировались как жители Терской области или соседних губерний. В отличие от распространённых «речных» фамилий (Волгин, Донской), Баксанский сохранила привязку к конкретному кавказскому топониму, что делает её своеобразным маркером — по ней можно сразу сказать, что корни семьи уходят в предгорья Кавказа.

Если у вас есть основания считать, что фамилия могла быть искусственной (например, полученной в семинарии или при выкупе из крепостных), то стоит учесть, что духовные училища часто давали фамилии по названиям рек и гор. Но для Баксанского это менее вероятно: семинаристы обычно получали фамилии от более известных гидронимов (Иорданский, Афонский) или от греческих/латинских корней. Баксан — слишком местное название, чтобы его использовали в общероссийской практике. Скорее всего, предок просто носил прозвище по месту жительства, которое и закрепилось в документах.