Фамилия Балагызова — тюркская по корню, русская по форме. Её основа восходит к слову «балагыз» (или «балыгъыз»), которое в тюркских языках означает «безусый», «безбородый» — то есть молодой человек, у которого ещё не растут усы и борода. В переносном смысле так могли называть юношу, недоросля, а иногда и человека, который по каким-то причинам не мог отрастить растительность на лице. Прозвище давали скорее всего молодому парню или мужчине с гладким лицом, что в традиционной культуре, где борода считалась признаком зрелости и достоинства, было заметной чертой.

Суффикс -ов в окончании указывает на типичную русскую модель образования фамилий: Балагызов — сын Балагыза. Женская форма Балагызова — это либо дочь, либо жена носителя мужской фамилии. Такая модель массово закрепилась в XIX веке, когда крестьянам и мещанам давали фамилии по отцу или прозвищу. Само прозвище Балагыз могло быть записано в документах при переписях, а затем перешло в фамилию.

Географически фамилия редкая и привязана в основном к регионам, где русские контактировали с тюркскими народами: Поволжье, Урал, Сибирь. Встречается у татар, башкир, казахов, а также у русских, живших по соседству. Встречаются варианты написания: Балагузов, Балыгызов — они отражают диалектное произношение или ошибки писарей.

Словообразовательная модель здесь проста: тюркское прилагательное «балагыз» плюс русский патронимический суффикс. Это типичный пример фамилии-прозвища, которая не связана с ремеслом или местностью, а описывает внешность или возраст предка. Если ваш предок носил такое прозвище, он, скорее всего, был молодым человеком, которого так и прозвали в деревне — и это прозвище закрепилось за его потомками.