Фамилия Балашою — редкий случай в русском ономастиконе, и её разбор сразу упирается в вопрос происхождения носителя. По словообразовательной модели это типичная румынская или молдавская фамилия на -ою, которая в русском языке часто получает окончание -ой или остаётся в исходной форме. Суффикс -ою в румынском указывает на принадлежность или происхождение, аналогично русскому -ов/-ев: Балашою буквально значит «сын Балаша» или «из рода Балаша».

Основа Балаш- восходит к личному имени Балаш — краткой форме от славянского имени Болеслав или, реже, от венгерского Balázs (Власий). В молдавской и румынской среде имя Балаш было распространено как уменьшительное, и от него образовалась фамилия. Если предки носителя жили на территории Бессарабии или современной Молдовы, фамилия могла закрепиться в XIX веке, когда крестьянам давали фамилии по отцу. В русских документах такую фамилию могли записать как Балашой или Балашев, но форма на -ою сохранилась у тех, кто переезжал в Россию уже в XX веке.

Встречаемость фамилии крайне низкая: она почти не фиксируется в центральных областях России. Поиск по базам данных показывает единичные случаи в Приднестровье и на юге Украины. Это значит, что носители, скорее всего, потомки переселенцев из Молдавского княжества или румынских регионов. Никакой связи с тюркским «балаш» (ребёнок) или цыганским прозвищем здесь нет — версия славянского имени через румынское посредство надёжнее, потому что подтверждается словообразовательной моделью.

Корень Балаш- встречается и в других фамилиях, например, Балашов, Балашев, Балаш. Но суффикс -ою сразу выделяет эту фамилию из общего ряда и указывает на конкретный ареал — Карпато-Дунайский регион. Если вы ищете историю своей семьи, стоит обратить внимание на метрические записи Молдовы или румынской Молдовы (регион Бакэу, Васлуй). Там фамилия могла писаться как Bălășoiu или Balașoiu — с диакритическими знаками, которые в русской передаче исчезли.