Фамилия Баласюков — редкий случай, когда географический акцент в основе почти не вызывает споров. Корень здесь, скорее всего, не русский, а украинский или белорусский. В основе лежит имя Баласюк, которое образовано по западнорусской модели: суффикс -юк (как в фамилиях Ковалюк, Михайлюк) указывает на «малого» или «сына» человека по имени Балас. А вот что такое Балас — вопрос.

Самая вероятная версия: Балас — это народная форма крестильного имени Власий (через промежуточное Блас). В украинском и белорусском говорах звук «в» перед согласным часто выпадал или переходил в «у», а «л» смягчался, давая «Балас». Святой Власий почитался как покровитель скота, поэтому имя было очень распространено в крестьянской среде. Фамилия Баласюков, таким образом, означает «потомок Баласа», то есть Власия.

Менее правдоподобна, но возможна связь с тюркским словом «балас» — «детёныш», «птенец», которое могло стать прозвищем для младшего или невысокого человека. Однако для славянской фамилии с суффиксом -юк это скорее исключение, чем правило. Тюркские заимствования в фамилиях на -юк встречаются, но обычно в южных степных регионах, а не в зоне формирования украинской ономастики.

Обратите внимание на суффикс -ов в конце. Фамилия Баласюк — это исходная форма (как в украинской традиции). А Баласюков — это уже русифицированный вариант, полученный при переселении носителей в великорусские губернии или при записи в официальные документы. Цепочка простая: Балас → Баласюк (сын Баласа) → Баласюков (в русской паспортной системе). Если ваши предки носили эту фамилию, ищите их корни не в центральной России, а на западе: в Подолии, на Волыни, в Гомельской или Брестской областях.