Фамилия Балюлис сразу обращает на себя внимание окончанием. В русском языке фамилии на «-ис» — редкость, а вот в литовском и латышском это стандартная мужская форма именительного падежа. Поэтому первая и главная версия: Балюлис — фамилия балтийского происхождения, скорее всего литовская. В Литве такие фамилии образуются от личных имён или прозвищ с помощью уменьшительных суффиксов, и «-улис» (или «-ulis») как раз один из них.

Основа фамилии — «Бал-», которая восходит к литовскому корню «bal-» со значением «белый» (baltas). Скорее всего, исходное прозвище Балюлис (Balulis) означало «беленький», «беловатый» — так могли назвать человека со светлыми волосами, бледной кожей или того, кто носил белую одежду. В литовской антропонимике такие «цветовые» прозвища очень распространены, и они часто становились фамилиями без изменений.

Второй, менее вероятный вариант — что основа связана с литовским глаголом «baloti» (белеть, становиться белым) или существительным «balà» (болото). Но «белый» — самое прямое и частотное значение.

В русском контексте фамилия Балюлис могла появиться у литовцев, переселившихся на территорию Российской империи, или у потомков литовских дворян и крестьян, которых записывали в документы на русский манер, но с сохранением оригинального окончания. Встречается она в основном в западных регионах России — в Калининградской, Псковской, Смоленской областях, а также в Литве и среди литовской диаспоры.

С точки зрения словообразования, интересно, что фамилия сохранила исконный суффикс «-улис», который в русском языке не характерен. Если бы её русифицировали, она могла бы превратиться в Балюлев или Балюлин, но этого не произошло — носители, вероятно, сознательно или по традиции удерживали исходную форму. Социальный слой предков определить сложно: в Литве такие фамилии носили и крестьяне, и мелкая шляхта, поэтому без конкретных генеалогических данных сословие остаётся неясным.

Коротко: Балюлис — литовская фамилия, образованная от прозвища со значением «беленький». Искать её корни стоит в балтийской ономастике, а не в славянской.