Фамилия Барбосынова — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не ремесло, а кличка собаки. Корень здесь прозрачен: «барбос» — распространённое в русских деревнях название дворовой собаки, обычно лохматой и незлой. Слово пришло из греческого через церковнославянский (βάρβαρος — «варвар, чужеземец»), но в народе закрепилось именно за псом. Однако напрямую прозвище Барбос редко давали человеку — скорее, оно указывало на хозяина собаки. То есть Барбосынов — это «чей?»: сын или потомок того, у кого был пёс Барбос. Такая модель образования (кличка + -ов + -ын) встречается нечасто, и суффикс -ын здесь указывает на принадлежность, как в фамилиях Петухов или Соколов, но с более конкретным оттенком «чей-то питомец».

Мужская форма — Барбосынов. Женское окончание -а в вашем варианте — стандартный русский патроним по мужу или отцу, никакой отдельной истории за ним нет. Сама фамилия явно крестьянская, скорее всего, из северных или центральных губерний, где прозвища по домашним животным были в ходу. В дворянской среде такие «собачьи» фамилии не встречались — там предпочитали основы от имён или географических названий.

Ударение, вероятно, падает на второй слог: Барбо́сынова, хотя в говорах могли смещать на последний. В письменных источниках XVIII–XIX веков фамилия почти не фиксируется — это указывает на её локальный характер и позднее оформление, возможно, уже после отмены крепостного права, когда крестьянам массово давали фамилии по прозвищам.

Есть и менее вероятная версия: от тюркского имени Барбас (встречается у татар и башкир), но тогда форма была бы Барбасов или Барбасин, а не Барбосынов. Русское «барбос» слишком созвучно и распространено, чтобы считать эту гипотезу основной. Так что ваш предок, скорее всего, был простым деревенским жителем, которого соседи знали как «Барбосынова внука» — по собаке, что грелась у его крыльца.