Фамилия Барчене звучит непривычно для русского уха. Это не русская фамилия, а латышская, и её разбор нужно начинать не с корня, а с суффикса. Формант -е (в женском роде) или окончание -с (в мужском) — типичный признак латышских фамилий. В Латвии фамилия Bārzdiņš или Bārda встречается, но Барчене — скорее всего, вариант от основы Bārda (борода) с уменьшительным суффиксом -е, либо от Barča (искажённое от Bārda с палатализацией). В любом случае, это не славянская фамилия, а балтийская, и её носитель — почти наверняка латыш или потомок латышей.

Основа фамилии восходит к латышскому bārda — «борода». Прозвище «Борода» было распространено у многих народов, но в латышской среде оно приобрело суффикс, который превратил его в фамилию. Скорее всего, первый носитель фамилии Барчене (в мужском роде — Bārzdiņš или Barčs) был бородатым человеком, и это стало его семейным прозвищем. В латышской ономастике фамилии с суффиксом -e часто указывают на принадлежность к роду или на уменьшительную форму — «маленький бородач» или «сын бородатого».

Географически фамилия Барчене почти не встречается за пределами Латвии. В России, Беларуси или Украине она единична и, вероятно, принадлежит потомкам латышских переселенцев, которых в XIX веке высылали в Сибирь или которые мигрировали в поисках земли. Если вы встретили фамилию Барчене в русскоязычной среде, это, скорее всего, русифицированная запись латышской фамилии: окончание -е могло быть воспринято как женское, хотя в оригинале оно грамматически среднего рода.

Сравните с однокоренными латышскими фамилиями: Барда, Бардинь, Барзинь. Барчене — более редкая форма, возможно, диалектная. В словарях латышских фамилий (например, в работах лингвиста В. Зепса) такая модель встречается, но не массово. Никакой связи с русским словом «барча» (устар. «барщина») или «барченок» (сын барина) здесь нет — это ложная этимология, которую могли бы притянуть по созвучию, но она не выдерживает проверки: суффикс -е нехарактерен для русских фамилий.

Таким образом, Барчене — латышская фамилия от прозвища «борода», с уменьшительным суффиксом. Ваш предок мог быть крестьянином или ремесленником из Курляндии или Лифляндии, которого прозвали за густую растительность на лице. Фамилия редкая, и её носители, вероятно, принадлежат к одной или нескольким родственным ветвям, рассеянным по Латвии и постсоветскому пространству.