Фамилия Барехин — редкий случай, когда модель образования подсказывает больше, чем сама основа. Суффикс -ин прямо указывает на то, что перед нами «сын» или «потомок» человека по имени или прозвищу Барéха. В русской ономастике фамилии на -ин обычно образуются от основ на -а или -я, и здесь мы имеем дело с краткой, разговорной формой, характерной для северных и центральных говоров.

Что такое Барéха? Самая прямая и правдоподобная версия отсылает к глаголу «барать» — в диалектах это означает «пахать», «возиться с землёй», а также «брать, хватать». Барéхой могли прозвать крестьянина-землепашца, трудолюбивого, но, возможно, и несколько неуклюжего или цепкого человека. Менее вероятна, но допустима связь с «барéть» (краснеть, наливаться румянцем) — тогда прозвище дали бы румяному, здоровому парню. Третья версия выводит основу из тюркских языков, где «бар» означает «есть, имеется», но для фамилии с русским суффиксом это звучит натянуто: переход от тюркского корня к прозвищу на -еха нехарактерен.

Фамилия Барехин — редкая и локальная. Она почти не встречается в центральных областях, зато её фиксируют в старых переписях Вятской губернии и в некоторых районах Сибири, куда переселялись вятские крестьяне. Это подкрепляет версию о севернорусском происхождении: именно в этих краях любили уменьшительно-пренебрежительные формы на -еха, -оха (ср. Михеха, Петеха, Бореха). Если ваш предок носил фамилию Барехин, он с высокой вероятностью был государственным или экономическим крестьянином из Вятского края — пахарем, жившим на земле, а не дворянином или купцом.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Баранов, Баринов — ничего не даёт: у них другая семантика. А вот фамилия Барехов (с ударением на первый слог) стоит ближе, но там суффикс -ов, что может указывать на другую основу или на более позднюю адаптацию. В целом, Барехин — это фамилия-отчество от прозвища, которое говорило о роде занятий или внешности, и её география почти наверняка ведёт на северо-восток европейской части России.