Фамилия Баршевскис — классический пример балтийской адаптации польской фамилии Барщевский. Окончание -скис вместо польского -ский (или русского -ский) — характерная черта латышской и литовской ономастики: прибалты «переделывали» славянские фамилии на свой лад, сохраняя корень, но меняя суффикс на привычный для местного уха.

Корень фамилии — польское слово «barszcz» (борщ). В Польше борщ — не просто суп, а национальное блюдо с обязательными красной фасолью и хлебным квасом, что отличает его от украинского или русского вариантов. Скорее всего, прозвище Барщевский дали либо любителю этого кушанья, либо повару, либо торговцу, который его готовил или продавал. В польской традиции прозвища от названий еды встречаются нередко, хотя и не так часто, как от профессий или внешности.

Есть и вторая версия — топонимическая. В основе фамилии может лежать название села Боршевск в Раменском районе Московской области. Если предок носителя фамилии происходил оттуда, то польское окончание -ский указывало бы на «выходца из Боршевска». Однако здесь важно уточнение: село находится на русской территории, а фамилия имеет польскую огласовку (Барщевский, а не Борщевский). Поэтому топонимическая гипотеза менее вероятна: скорее, она возникла как народное переосмысление, когда непонятное прозвище «привязали» к знакомому названию.

Суффикс -ский (в латышском варианте -скис) в польской традиции — показатель дворянского или шляхетского происхождения. Это значит, что предки Баршевскисов могли относиться к мелкой шляхте, владевшей землёй или имевшей герб. В Латвии и Литве такие фамилии нередко носили потомки польских переселенцев, которые после разделов Речи Посполитой оказались на территории Прибалтики.

Итог: фамилия Баршевскис — это польская основа, обрусевшая в произношении и «обрибалтившаяся» в окончании. Наиболее правдоподобное объяснение — прозвище от названия блюда (борщ), реже — связь с топонимом.