Фамилия Башагурава — редкая для России и почти наверняка грузинская по происхождению. Об этом говорит характерный суффикс -ава, который в грузинском языке указывает на принадлежность к роду или местности. В западной Грузии (Мегрелия, Гурия) фамилии на -ава особенно распространены. Так что носитель фамилии Башагурава, скорее всего, потомок выходцев из этих регионов.

Основа фамилии — «башагур» — вызывает вопросы. В грузинском языке «баша» (ბაშა) может означать «голова», «вершина», а в переносном смысле — «главный», «начальник». Вторая часть, «гур» (გური), переводится как «сердце». Получается, что Башагурава можно истолковать как «тот, у кого голова (или главное) — сердце», или «главное сердце». Это похоже на прозвище, данное человеку за душевность, смелость или лидерские качества, где сердце считалось центром этих свойств.

Впрочем, есть и другая, более прозаичная версия. «Баша» могло быть диалектным или искажённым вариантом личного имени (например, уменьшительное от Баграт или Василий). Тогда Башагурава — это «принадлежащий Башагуру», то есть человек из рода некоего Башагура. Полное имя Башагур в современных источниках не встречается, но в прошлом такие составные имена (из двух корней) были в ходу.

В России фамилия встречается крайне редко, в основном в Краснодарском крае и Москве — местах, куда традиционно переселялись грузины. Из-за редкости фамилии её носители, скорее всего, являются потомками одной или нескольких семей, выехавших из Грузии. Точных сведений о дворянском или крестьянском происхождении нет, но в Грузии фамилии на -ава носили все сословия, так что однозначного ответа здесь не дать.