Фамилия Башинський — типичный пример фамилии на -ський, которая в украинской и польской традициях указывает на географическое происхождение. В отличие от русских фамилий на -ский, которые часто были семинарскими, украинские и польские носители этой модели получали фамилию по названию места проживания или владения. Основа «Башин» может вести к нескольким топонимам: сёла Башин, Башино или урочища с похожим названием встречаются на Волыни, Подолье и в Западной Украине. Человек, переселившийся оттуда, получал прозвище «Башинський» — то есть «родом из Башина».

Есть и вторая версия, менее вероятная, но допустимая: от прозвища Баша. В южнорусских и украинских говорах «баша» — это иногда уменьшительное от «батько» (отец) или искажённое тюркское «баша» (голова, глава). В таком случае суффикс -инський указывал бы на принадлежность: «сын Баши». Однако для фамилий на -ський такая патронимическая модель нетипична — она больше свойственна фамилиям на -ин (Башин). Поэтому версия с топонимом выглядит убедительнее.

Суффикс -ський в этой фамилии не польский и не русский — он общевосточнославянский, но в украинском языке он стал основным способом образования фамилий от названий сёл. Если бы фамилия была русской, она скорее звучала бы как Башин (без суффикса -ский) или Башинов. Форма Башинський с мягким знаком и окончанием -ий — украинская орфографическая норма, в польском варианте было бы Baszyński.

В социальном плане носители фамилии Башинський в XIX веке чаще всего были крестьянами или мещанами из западных губерний Российской империи — Волынской, Подольской, Киевской. Дворянских родов с такой фамилией в гербовниках не зафиксировано, хотя единичные случаи шляхетского происхождения могли быть на Правобережной Украине, где многие крестьяне носили фамилии, созвучные шляхетским.

Таким образом, если вы встретили носителя фамилии Башинський, скорее всего, его предки жили в селе с корнем «Баш-» на западе Украины или в приграничных районах Польши. Фамилия не редкая, но и не массовая — её география чётко привязана к западноукраинским землям.