Фамилия Балинський — это классический пример фамилии на -ський, указывающей на связь с местностью. Такие фамилии были особенно распространены среди польской шляхты и украинской старшины, а позже — среди крестьян и мещан, которые получали фамилии по названию деревни или городка, откуда происходили. В данном случае основа — топоним Балин, Балина или Балі. Несколько сёл с таким названием есть в Западной Украине (например, Балин на Винничине или в Ивано-Франковской области), а также в Польше (Balice, Balin). Суффикс -ський буквально значит «из Балина», то есть предок носителя фамилии был выходцем из этого поселения.

Вторая, более редкая версия, связывает фамилию не с географией, а с личным прозвищем Бала (от диалектного «балити» — говорить, болтать, или от тюркского «бал» — мёд, сладкий). Однако для фамилий на -ський топонимическое происхождение на порядок вероятнее: прозвища чаще давали суффиксы -енко, -ук, -ович, а не -ський. Если бы фамилия была Балин (без суффикса), версия с прозвищем была бы сильнее.

Обратите внимание на написание: Балинський (с мягким знаком) — украинский вариант. Польский аналог — Baliński (Балиньский). В русской традиции фамилию часто русифицировали, превращая в Балинский (с твёрдым «н»). Это обычная история для фамилий из западных регионов, которые попали в российские документы: местное произношение с «ь» заменяли на твёрдый согласный, так как в русском языке сочетание «ньск» встречается редко. Поэтому, если ваши предки из Подолья или Волыни, исходная форма почти наверняка была Балинський, а если из центральной России — скорее всего, это осевшая на бумаге адаптация.

По сословной принадлежности: носители фамилии Балинський могли быть как мелкими шляхтичами (однодворцами), так и крестьянами, получившими фамилию по месту жительства. В XIX веке фамилии на -ський перестали быть маркером дворянства — их массово давали при переписях сельским общинам по названию села. Так что искать «корни» стоит в конкретном селе Балин, а не в гербовнике. Если такой деревни в вашем роду нет, возможно, фамилия — калька с польского Baliński, предки которой переехали на восток.