Фамилия Балинська — женская форма фамилии Балинський, и её происхождение напрямую связано с географическим принципом. Такие фамилии на -ський/-цький в украинской и польской традиции чаще всего указывали на родовое поместье, место рождения или проживания первого носителя. Основа «Балин» почти наверняка восходит к названию населённого пункта — например, села Балин на Подолье (ныне Хмельницкая область Украины) или деревни Балин в Польше. В таком случае предок носительницы фамилии был либо владельцем этих земель (шляхтичем), либо просто выходцем оттуда.

Менее вероятная, но возможная версия — образование от прозвища или имени Бала (уменьшительное от Балаш, Балтазар или даже от тюркского «бала» — дитя). Однако суффикс -ський в украинской традиции почти не используется для «простых» прозвищных фамилий: он закрепился за дворянскими и топонимическими. Поэтому версия с селом Балин выглядит убедительнее.

Фамилия Балинський (и его женская форма) — не самая частотная, но хорошо известна в западных и центральных областях Украины. В польских метриках XVII–XVIII веков встречаются записи о шляхте герба Прус (Prus) с фамилией Baliński, владевшей землями в Подольском воеводстве. Если ваши предки носили эту фамилию, с высокой долей вероятности они были связаны с мелкопоместной шляхтой или зажиточными крестьянами той местности.

Интересная деталь: в русском языке фамилию часто путают с однокоренной Балин (от «балить» — шутить, или от имени Бала), но написание через -ська/ -ский — маркер именно украинской или польской традиции. Если вы встретили вариант Балинская (с твёрдым окончанием), это, скорее всего, русифицированная форма XIX–XX веков, когда украинские фамилии адаптировали под имперские стандарты.