Фамилия Башынська звучит не по-русски, а по-украински или польски. Это женская форма; мужской вариант — Башынський. Такое окончание (-ська/-ский) типично для польской шляхты и украинской старшины, чьи фамилии образовывались от названий местностей. В русском языке аналогом был бы суффикс -ский, но здесь мы видим мягкое «ськ», характерное для западных диалектов.

Основа фамилии — «Башын». Вероятнее всего, это топоним: село или хутор с названием Башин, Башино или Башын. Такие названия встречаются на западе Украины (например, в Ровенской или Львовской областях) и в Польше. Значение корня «баш-» может восходить к тюркскому «баш» — голова, главный, или к древнерусскому прозвищу Баша (от глагола «башить» — бить, колотить). Но в контексте фамилии на -ський топонимическая версия убедительнее: предок получил фамилию по месту, откуда был родом, — «из Башына».

Менее вероятно, но возможно, что «Башын» — это прозвище. В украинских говорах «баша» иногда называли человека с большой головой или упрямого. Однако фамилии на -ський редко образуются напрямую от прозвищ — обычно они указывают на владение землёй или происхождение. Поэтому носители фамилии Башынська, скорее всего, потомки мелкой шляхты или казаков, владевших или живших в населённом пункте Башын.

Фамилия редкая и не встречается в массовых списках. Если вы ищете свои корни, стоит проверить метрические книги Западной Украины и приграничных воеводств Польши конца XVIII — начала XX века. Написание через «ы» (Башынська, а не Башинська) указывает на твёрдое произношение корня в местном говоре — это дополнительная зацепка для поиска.