Фамилия Баслаева — женская форма, а в основе лежит мужская фамилия Баслаев. Разбирать её стоит с суффикса -ев-, который типичен для русских фамилий, образованных от основ, оканчивающихся на мягкий согласный или на -й. В данном случае основа — Баслай. Суффикс -ев- (как и -ов-) указывает на принадлежность: Баслаев буквально значит «сын Баслая» или «человек из рода Баслая».

Самая вероятная версия происхождения прозвища Баслай — от глагола «баслать». В русских говорах это слово означало «говорить громко, крикливо, бахвалиться» или «наряжаться, щеголять». Соответственно, Баслаем могли прозвать либо болтливого, хвастливого человека, либо того, кто любил ярко одеваться, «басил» — то есть красовался. В ономастике такие прозвища по поведению или внешнему виду — один из самых распространённых типов, поэтому версия устойчивая и правдоподобная.

Встречается и более редкая гипотеза, связывающая основу с тюркским словом «басла» — «начинай, возглавляй». Но она слабее: фамилия не демонстрирует явной географической привязки к регионам активных тюрко-славянских контактов, а суффикс -ай в русских прозвищах (типа Баслай, Болтай, Ширяй) гораздо естественнее объясняется из славянской глагольной основы.

Фамилия Баслаев (и Баслаева) — не самая частотная, но встречается в разных областях России, от центральных до южных. В дореволюционных источниках она фиксируется среди крестьян и мещан. Примечательно, что ударение в фамилии обычно падает на второй слог: Басла́ев. Это отличает её от некоторых однокоренных фамилий вроде Ба́сова, где ударение на первый слог, и указывает на живую разговорную основу — именно произносительное ударение на суффиксе характерно для фамилий от прозвищ с суффиксом -ай.