Фамилия Баснакьян — почти наверняка армянского происхождения, и её разбор стоит начать с суффикса. Формант -ян (или -ьян) — один из самых распространённых в армянской ономастике, он указывает на принадлежность, происхождение или родство: буквально «из рода такого-то» или «сын такого-то». В русской передаче фамилии армянского происхождения нередко сохраняют это окончание без изменений, хотя встречаются варианты с усечением или русификацией.

Основа Баснак- — более загадочная. Скорее всего, она восходит к армянскому топониму Басен (историческая область на западе Армении, в верховьях Евфрата, ныне на территории Турции). Форма Баснак могла возникнуть как производное от названия местности: житель Бассена — баснаци, а фамилия Баснакьян означала бы «из Басена» или «потомок выходца из Басена». Такая модель типична: ср. армянские фамилии Ширакян (от Ширак), Ванандьян (от Вананд).

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркским словом basnak (в некоторых диалектах — «давильщик», «гнёт»), однако для армянской фамилии это нехарактерно. В пользу топонимического объяснения говорит и то, что фамилия Баснакьян встречается в основном у армян, исторически связанных с Западной Арменией и районами бывшей Османской империи.

Социальный контекст: как и многие армянские фамилии на -ян, Баснакьян могла принадлежать как крестьянам, так и ремесленникам или купцам — сословной привязки у такого форманта нет. В Российской империи армянские фамилии фиксировались в метрических книгах и ревизских сказках, но точных данных о численности носителей Баснакьян в XIX веке нет — это редкая фамилия, не попавшая в массовые справочники.

Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, его корни — в селе или городе с названием вроде Басен, Баснак, а сама фамилия — просто указание на место, откуда род ушёл поколение или два назад.