Фамилия Баснина — женская форма от фамилии Баснин, а та, в свою очередь, образована от прозвища Басня. В старину словом «басня» называли не литературный жанр, а предмет общих разговоров, молву или пересуды. Поэтому прозвище Басня мог получить человек, который был в центре внимания, служил темой для разговоров, либо, наоборот, сам был известным рассказчиком и любил поговорить.

Однако это не единственная версия. Прозвище могли дать и по другой черте. Глагол «басать» означал «рядиться, наряжаться, щеголять». В таком случае Басней называли франта или модника, который любил выделяться одеждой. Есть и третье предположение: связь со словом «басить» — то есть петь басом. Если принять эту версию, предок Басниных обладал низким, звучным голосом или был музыкально одарён.

Словообразовательная модель проста: к основе прозвища Басн- добавился типичный русский суффикс принадлежности -ин. Фамилии на -ин в России обычно получали от слов, оканчивающихся на -а или -я. Так Басня превратилось в Баснин, а затем и в Баснина для женщин. По своему типу это типичная «патронимическая» фамилия — то есть указывающая на прямого предка по мужской линии.

Географически фамилия Баснин (и Баснина) встречается в основном на Урале и в Сибири. Известен, например, купеческий род Басниных из Тобольска, который вёл крупную торговлю в XVIII–XIX веках. Это не значит, что все носители фамилии происходят от купцов, но указывает, что фамилия давно и прочно закрепилась в этих краях.

Таким образом, за фамилией Баснина стоит целых три возможных прозвищных корня: говорун, щёголь или певун. Точно сказать, какой из них подходит вашим предкам, без генеалогического исследования нельзя, но все три версии имеют право на существование и подкреплены данными исторической лексики.