Фамилия Баснева — женская форма от Баснев, и её разбор начинается не с корня, а с суффикса. Модель образования типична для русских фамилий: основа плюс суффикс -ев. Суффикс -ев, а не -ов, указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или шипящий. В данном случае — на «нь» (Басн-ев). Это сразу отсекает часть ложных версий: фамилия не могла образоваться от твёрдой основы вроде «басн».

Корень — «басн-». В древнерусском языке слово «баснь» означало «выдумка, сказка, побасенка». Прямое значение — «тот, кто сказывает басни», то есть говорун, рассказчик, возможно, балагур или лгун. Однако не стоит торопиться записывать предка в сказочники. Прозвище Ба́сня или Басня́ могло закрепиться за человеком, который любил приукрашивать, сочинять небылицы, или, напротив, за тем, кто профессионально развлекал людей — скоморохом, гусляром-сказителем. В северных говорах (архангельских, вологодских) слово «басня» имело и более нейтральный оттенок — «разговор, беседа», так что прозвище могло означать просто «говорливый, общительный».

Версия с именем собственным маловероятна. Имя Басня или Басна не встречается в святцах и не было распространено как крестильное. Значит, перед нами чисто прозвищная фамилия, что для русского ономастикона обычное дело.

Региональная привязка фамилии Баснев/Баснева — в основном центральные и северные области России. Встречается в Тверской, Ярославской, Вологодской губерниях, а также на Урале, куда фамилию могли занести переселенцы. Сравнение с однокоренными фамилиями (Баснин, Басенков, Баскаков) показывает, что «басня» как прозвище была не уникальна, но и не слишком частотна — это не «Иванов» и не «Кузнецов», а скорее редкая фамилия, сохранившая живую народную лексику.

Социальный слой, где возникла фамилия, — крестьянская и посадская среда. Дворянских родов Басневых в истории не зафиксировано, а значит, предок был либо крестьянином, либо ремесленником, либо служилым человеком «по прибору». Фамилия фиксируется в писцовых книгах XVII века, но массовое закрепление произошло позже, после отмены крепостного права, когда крестьянам массово давали фамилии по прозвищам.

Итак, Баснева — это «дочь/жена того, кого прозвали Басней». Прозвище, скорее всего, указывало на речевую особенность или род занятий предка: он был рассказчиком, балагуром или просто любителем поговорить. Никакой мистики, только живая разговорная стихия русского языка.