Фамилия Басыроб — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а, скорее всего, иноязычное прозвище, записанное русским окончанием. С первого взгляда бросается в глаза нетипичная для русских фамилий концовка «-об», но это не отдельный суффикс. Перед нами тюркская основа, к которой добавили стандартный русский патронимический суффикс -ов. Звук «б» на стыке корня и суффикса дал на письме «-об», хотя по правилам словообразования это тот же самый -ов, что и в фамилии Петров.

Корень «Басыр» восходит к тюркскому слову, которое в разных языках (татарском, башкирском, казахском) означает «зоркий», «прозорливый», «видящий насквозь». В переносном смысле так могли назвать проницательного человека, который замечает то, что скрыто от других. Встречается и другая версия: в некоторых диалектах «басыр» — это «давильщик» или «гнетущий», но для прозвища она менее характерна, чем первая, хвалебная. Скорее всего, прозвище Басыр дали наблюдательному или дальновидному человеку.

Фамилия явно сформировалась в среде, где русская модель фамилий на -ов накладывалась на тюркские имена. Это типично для Поволжья, Приуралья или Сибири, где татары, башкиры и другие народы входили в состав Российского государства и постепенно переходили на русские фамилии. Документально фамилия почти не зафиксирована в старых переписях, что говорит о её крайней редкости и, возможно, позднем оформлении. Если ваши предки носили фамилию Басыроб, они с высокой вероятностью происходят из крещёных татар или башкир, либо из тюркоязычных переселенцев, живших в русскоязычном окружении.

Ударение в фамилии логично ставить на последний слог — Басыро́б, хотя в разговорной речи из-за редкости возможны варианты. В написании путаницы обычно не возникает, поскольку двойных букв или сложных буквосочетаний нет. Единственная особенность: в старых документах фамилию могли записать через «а» — Басаров, но это уже совсем другая история.