Фамилия Батистова — женская форма от Батистов. Если коротко: она никак не связана с названием ткани батист. Её основа — редкое для России католическое мужское имя Батист, которое восходит к греческому Baptista — «креститель». Это имя давали в честь святого Иоанна Крестителя, ближайшего предшественника Иисуса Христа, крестившего его в водах Иордана. В средневековой Европе имя было очень популярно и обросло множеством национальных форм: Баптиста, Батиста, Батишт.

В русской среде это имя — пришлое, нетипичное для православной традиции. Поэтому появление фамилии Батистов (и, соответственно, Батистова) логичнее всего связывать с контактами с Западом. Скорее всего, основатель рода был поляком, немцем или выходцем из униатских земель, где почитание Иоанна Крестителя в католическом варианте было обычным делом. Фамилию образовали по русской модели: к основе Батист- добавили типичный суффикс принадлежности -ов, указывающий на потомка («чей?» — Батистов). Со временем это «чей?» закрепилось как родовое прозвище, а затем и фамилия.

Имя Иоанн Креститель (Предтеча) почитается не только в христианстве: в исламе он известен как пророк Яхья, в арабских христианских церквях — как Юханна. Но для истории фамилии Батистова важна именно западная, католическая ветвь этого культа. Если ваши предки носили эту фамилию, они, вероятно, были не из коренного великорусского крестьянства, а из обрусевших или окатоличенных семей, живших на западе империи или в среде городских ремесленников, куда проникали иноземные имена.