Фамилия Баушенко — редкий пример, когда русская фамилия с украинским суффиксом -енко образована не от славянского корня, а от немецкого прозвища. Обычно такие фамилии указывают на потомка человека, которого в округе называли на чужой манер — либо из-за внешности, либо по ремеслу.

Разбираем основу. Прозвище Бауш восходит к немецкому Bauch (живот, выпуклость) или к глаголу bauschen (взбивать, комкать, надуваться). Первый вариант — описательный: Баушем могли прозвать человека с выпуклым лбом, навыкате глазами или полной фигурой. Второй вариант — профессиональный: bauschen связано с обработкой кожи (кожевник взбивает и разминает материал). Третье значение, «надуваться», могло перейти на характер — придирчивого или гордого человека тоже называли Баушем.

Суффикс -енко типичен для украинской антропонимии и означает «маленький» или «сын» (Баушенко — сын Бауша). Такая модель массово закрепилась в XVI–XVII веках в Поднепровье и Слобожанщине. Значит, носитель фамилии происходит из семей, где родоначальника знали по немецкому прозвищу — что необычно для украинской среды. Возможно, предок был переселенцем-ремесленником из немецких колоний, либо прозвище дали за внешнюю черту, которая резала глаз соседям.

В отличие от польских или еврейских фамилий с немецкими корнями (Вейценбаум, Зауэрштром), Баушенко не калькирует целое понятие, а берёт только одно слово — прозвище. Это говорит о бытовом, а не книжном происхождении: прозвище родилось в устном общении, а не в канцелярии.

Фамилия редкая. В современных российских справочниках практически не встречается — основная масса носителей сосредоточена на Украине и в южных областях России, куда в XVIII–XIX веках переселяли немецких колонистов. Если ваш предок — Баушенко, стоит искать его корни среди кожевников или среди людей с яркой внешностью, которую подметили и закрепили в прозвище.