Фамилия Баушкэ — редкая и нестандартная для русской ономастики. В ней сразу бросается в глаза конечное -э, что нетипично для исконно русских фамилий: в русском языке фамилии на -э почти не встречаются, зато характерны для молдавской и румынской традиции. Скорее всего, перед нами фамилия молдавского или румынского происхождения, которая попала в русский контекст через Бессарабию или Приднестровье.

Основа фамилии — Баушк. Её можно связать с румынским словом «băuș» (или диалектным «băușcă»), которое означает «пьяница», «любитель выпить». В молдавских говорах так могли прозвать человека, склонного к застольям, или, наоборот, дать ироничное прозвище тому, кто не пил вовсе. Суффикс -к- в румынском языке часто образует уменьшительно-ласкательные или пренебрежительные формы, так что Баушкэ — это, вероятно, «маленький пьяница» или «сын пьяницы». Впрочем, не исключена и версия от личного имени: в регионе бытовали прозвища от глагола «a băui» (пить), которые закреплялись за родом.

Написание через «э» на конце — графическая особенность, которая закрепилась при записи фамилии в русских документах (например, в метрических книгах или паспортах XIX века). В оригинале на румынском она могла выглядеть как Băușcă (с диакритическими знаками). Носители фамилии Баушкэ встречаются в основном на юго-западе Украины (Одесская область), в Молдове, а также среди потомков переселенцев в России.

Сословной привязки у фамилии нет: её могли носить и крестьяне, и мещане. Если вы ищете корни, стоит обратить внимание на переписи населения Бессарабской губернии конца XIX века — там фамилия могла фиксироваться в вариантах Баушеску, Бауша или Баушка.