Фамилия Байгашова — женская форма фамилии Байгашов, и её происхождение почти наверняка ведёт в тюркскую языковую среду. Основа «байгаш» (или «байкаш») в ряде тюркских языков, включая казахский, башкирский и татарский, означает «сват» или «сваха» — человек, который выступает посредником при заключении брака. В некоторых диалектах у слова есть и более конкретный оттенок: «тот, кто сватает невесту за другого». Таким образом, прозвище Байгаш могли дать человеку, который славился умением договариваться о свадьбах, или же тому, кто сам был многократным сватом.

Разберём словообразовательную модель. Суффикс -ов/-ев в русских фамилиях указывает на принадлежность: Байгашов — сын Байгаша. Это стандартный патроним, который массово закрепился за носителями тюркских прозвищ и имён после вхождения народов Поволжья, Приуралья и Сибири в состав Российского государства. Многие башкирские, татарские и казахские фамилии получили именно такое оформление в XIX — начале XX века при переходе к оседлому образу жизни и фиксации в метрических книгах.

Географически фамилия Байгашова чаще всего встречается в Оренбургской области, Башкортостане и Челябинской области — то есть в зоне исторического расселения южных башкир и оренбургских казаков, где тюркские и русские антропонимические традиции тесно переплелись. Встречаются также носители в Казахстане, что логично, учитывая общность корня.

Стоит упомянуть и редкую, но возможную версию: в некоторых тюркских говорах «байгаш» могло быть не прозвищем, а личным именем-оберегом. Родители могли назвать сына Байгаш (буквально «богатый сват»), желая, чтобы он был удачлив в делах и связях. Однако в фамилиях чаще закреплялось именно прозвище, данное по занятию или характерной черте.

По сравнению с однокоренными фамилиями вроде Байгаскин или Байгазин, форма Байгашов — самая распространённая и «русифицированная» по суффиксу. Если ваши предки носили эту фамилию, с высокой вероятностью они были либо башкирами, либо татарами, либо оренбургскими казаками тюркского происхождения, а среди мужчин рода были те, кого в деревне знали как умелых сватов.