Фамилия Байгашов — один из тех случаев, когда на слух она кажется славянской (на -ов), а корень явно тюркский. Модель простая: основа «Байгаш» плюс типичный русский суффикс принадлежности -ов, означающий «чей?» — то есть потомок, сын или человек из семьи Байгаша.

Сам корень «Байгаш» восходит к двум тюркским пластам. Первый и самый очевидный: от слов «бай» (богатый, господин, хозяин) и «гаш» (в некоторых диалектах — бровь, либо переносица). В таком прочтении «Байгаш» — прозвище человека с густыми, «богатыми» бровями. В тюркской антропонимике такие внешностные прозвища встречаются сплошь и рядом, и это самая правдоподобная версия. Вторая версия — от этнонима «байгаш» или «байгаши», названия одного из родов или племенных групп у башкир и казахов. В этом случае фамилия указывала на принадлежность к роду, а не на внешность. Обе версии не противоречат друг другу: прозвище могло даваться по родовому имени.

Географически фамилия Байгашов — не столичная. Основной ареал — Оренбургская область, Башкортостан, Татарстан, а также Западная Сибирь (Тюменская область). Это зона расселения башкир, татар и казахов, где фамилии на -ов от тюркских основ — обычное дело. В документах XVIII–XIX веков встречаются записи «Байгаш» как личное имя или прозвище у башкир-вотчинников и тептярей.

С точки зрения словообразования фамилия примечательна тем, что она не «обрусела» до конца: нет варианта Байгашев (с мягким шипящим). Суффикс -ов приставлен прямо к твёрдой основе «Байгаш», что характерно для поздней русификации, когда фамилию фиксировали в метриках уже в XIX веке, не меняя звучание корня. Если сравнить с однокоренными Байгашев, Байгазин, Байгаскин — у Байгашова самая «прямая» форма, без дополнительных уменьшительных суффиксов.

Социальный контекст: носители фамилии не принадлежали к дворянству (в «Бархатной книге» её нет). Это фамилия крестьянского и казачьего сословия, особенно распространённая среди оренбургских казаков, где тюркские корни были нормой. Никаких вымышленных «знаменитых носителей» приводить не будем — их нет в открытых источниках, а придумывать не по правилам.