Фамилия Байконыс — редкий случай в русском ономастиконе. Она почти наверняка не исконно русская, а пришла из тюркских языков, скорее всего, из казахского. Прямой разбор по русской словообразовательной модели (суффикс -ов/-ев, -ин) здесь не работает: окончание -ыс — это не русский суффикс, а часть тюркского корня. Поэтому искать в ней «сына Байкона» через отчество было бы ошибкой.

Основа фамилии — «Байконыс» — прозрачно делится на две части: «бай» (богатый, господин, хозяин) и «коныс» (ночёвка, пристанище, место для остановки). В буквальном переводе с казахского это означает «богатая ночёвка» или «хорошее место для стоянки». Скорее всего, так называли не человека, а местность — урочище, зимовье или родник, где останавливались кочевники. Фамилия могла возникнуть, когда человека, жившего в таком месте, прозвали по названию его аула или стойбища.

Вероятнее всего, предки носителя фамилии Байконыс были казахами или представителями других тюркских народов, которые в XIX–XX веках, при переходе к оседлости и получении паспортов, записывали свою родовую или географическую принадлежность как фамилию. С точки зрения русской грамматики, фамилия стоит в форме мужского рода, но склоняется по правилам существительных: Байконыс, Байконыса, Байконысу. Женский вариант остаётся неизменяемым.

В русских архивных документах эта фамилия встречается крайне редко, в основном в регионах, граничащих с Казахстаном, или среди потомков переселенцев. Её уникальность в том, что она сохранила не имя или прозвище предка, а топоним — географическую примету, по которой род был известен в степи.