Фамилия Баймашква — редкий случай, когда написание почти наверняка искажено при записи. Корень здесь — тюркский, скорее всего, от «бай» (богатый, знатный, господин) и «маш» или «баш» (голова, глава, верховный). В исходном виде фамилия могла звучать как Баймашков или Байбашков, а «ква» на конце — результат того, что писарь на слух записал окончание, характерное для украинских или польских фамилий (как в Барабаш — Барабашко). В русском языке такое окончание (-ква) нетипично и встречается в основном у фамилий, адаптированных из других языков.

Модель образования указывает на отчество или прозвище: суффикс -ов (в исходной форме) означает принадлежность. То есть Баймашква — это трансформированное «сын Баймаша» или «сын Байбаша». Прозвище Баймаш/Байбаш могли дать человеку, который был главой богатого рода, старостой или просто влиятельным лицом в тюркоязычной среде. Встречается такое имя и как личное: у татар, башкир, казахов «Байбаш» — составное имя с пожеланием быть «богатой головой», то есть умным и состоятельным.

Географически фамилия могла закрепиться на юге России, в Поволжье или в среде казачества, где было много тюркских заимствований и смешанных браков. Однако в современных справочниках и базах данных эта фамилия почти не фиксируется — это говорит либо о её крайней редкости, либо о том, что большинство носителей со временем переписали фамилию в более привычную форму (Баймашков, Байбашев). Если ваши предки носили именно «Баймашква», стоит искать корни в районах с активным переселением украинских и тюркских народов — например, в бывших областях Войска Донского или на Кубани.