Фамилия Баймастрюк — редкий случай, когда за основу взято не имя, не профессия и не внешняя черта, а, скорее всего, прозвище, связанное с конным делом. Разберём её по частям.

Первое, что бросается в глаза, — суффикс -юк, типичный для западноукраинских и белорусских фамилий (особенно Волыни, Полесья, Подолья). Он означает «маленький» или «сын такого-то». То есть Баймастрюк — это «сын Баймастра» или «маленький Баймастр». Но что такое «Баймастр»?

Корень фамилии состоит из двух частей: «бай» и «мастр». «Бай» — тюркское слово, означающее «богатый», «знатный», «господин» (ср. бай в значении «хозяин», «богатей»). Вторая часть — «мастр» — искажённое польское или украинское «майстер» (мастер). В польском языке majster (от нем. Meister) — это ремесленник, мастер своего дела, часто — шорник или седельник. Получается, что Баймастр — это прозвище, которое можно перевести как «богатый мастер» или «знатный ремесленник». Однако в народной среде такие составные прозвища часто имели ироничный оттенок: так могли прозвать человека, который любил казаться важным и умелым, но на деле был обычным работягой.

Есть и другая, более конкретная версия. В польских и украинских говорах «баймастер» (bajmaster) — это специалист по конской сбруе, шорник. Слово сложилось из «бай» (в значении «конь», ср. тюркское bay — лошадь) и «мастер». Тогда Баймастрюк — это сын шорника, человека, который шил упряжь, сёдла и уздечки. Эта версия кажется правдоподобнее, потому что фамилия напрямую привязана к конкретному ремеслу, а не к абстрактному «знатному мастеру».

Географически фамилия тяготеет к западу Украины и югу Беларуси — регионам, где польское влияние смешивалось с тюркскими заимствованиями (через крымскотатарские и турецкие контакты). В России эта фамилия почти не встречается, что подтверждает её локальный, западнорусский характер.

Если ваш предок носил фамилию Баймастрюк, он с высокой вероятностью происходил из среды ремесленников или крестьян, которые обслуживали конную тягу: шорников, седельников, возможно, коновалов. Прозвище «Баймастр» могло закрепиться за одним человеком, а его дети уже стали Баймастрюками. Искать корни стоит в архивных записях Волынской, Гродненской или Подольской губерний XIX века — там ремесленные прозвища часто переходили в фамилии именно с таким суффиксом.