Фамилия Байша — редкий случай, когда происхождение почти наверняка лежит не в славянской, а в тюркской или кавказской среде. В русском языке нет корня «байш-», зато в тюркских языках слово «бай» означает «богатый, господин, хозяин». Вторая часть «-ша» — это либо уменьшительно-ласкательный аффикс (как в именах Айша, Бибиша), либо часть составного прозвища. Таким образом, Байша можно перевести как «богатенький», «господчик» или «маленький хозяин» — прозвище, данное либо уважаемому, либо, наоборот, человеку, который любил показать свою важность.

География фамилии подтверждает эту версию. Байша встречается у татар, башкир, у народов Северного Кавказа (особенно у адыгов и балкарцев), а также у казахов. В русских документах фамилия фиксируется с XIX века, и её носителями были, скорее всего, выходцы из татарских или горских сословий — купцы, мелкие землевладельцы или старшины. Встречается она и у украинских казаков, но там, вероятно, результат смешанных браков или записи по прозвищу.

Словообразовательная модель проста: основа «бай» + суффикс «-ша». Никаких русских патронимических суффиксов (-ов, -ин, -ский) в ней нет, поэтому фамилия сохранилась в «чистом», неадаптированном виде. Это отличает её, скажем, от фамилии Байшев, где тюркская основа уже получила русское окончание.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с немецкой фамилией Beischa или Baisha, которую могли принести в Россию колонисты-меннониты. Однако массовых переселенцев с такой фамилией история не знает, и для России эта гипотеза остаётся маргинальной.

Прозвище Байша могло закрепиться за человеком, который был старшим в роду, имел вес на базаре или просто любил жить на широкую ногу. В любом случае, носитель фамилии может с высокой вероятностью искать свои корни в Поволжье, на Урале или в Предкавказье — там, где тюркские языки веками соседствовали с русским.