Фамилия Байшигашов — редкий случай, когда её происхождение почти наверняка указывает на конкретную этническую и географическую точку. В отличие от большинства русских фамилий, которые образованы от крестильных имён или прозвищ, эта фамилия по своей структуре и корню — тюркская. Если коротко: она возникла у народов, говорящих на тюркских языках (скорее всего, у казахов, башкир или татар), и лишь потом, с переходом в русскую среду, получила типичный русский фамильный суффикс.

Разбираем по частям. Основа «Байшигаш» — это сложносоставное имя или прозвище. Первая часть «бай» в тюркских языках означает «богатый», «господин», «хозяин». Вторая часть — «шигаш» — менее прозрачна. Скорее всего, это искажённое или диалектное произношение слова, связанного с «шигай» (как в фамилии Шигаев) — от арабского имени Шигабутдин (звезда веры). В таком случае «Байшигаш» можно понять как «богатый (или господин) Шигаш» — то есть человек, получивший это имя либо в честь уважаемого предка, либо как владелец чего-то, связанного с этим именем. Есть и другая, более прозаичная версия: «шигаш» может быть вариантом слова «шығаш» (выход, исход) в некоторых тюркских диалектах. Тогда прозвище могло означать «богатый выходец» или «тот, кто вышел из богатства». Но первая версия — с антропонимом — правдоподобнее: в тюркской ономастике сплошь и рядом встречаются имена вроде Баймурат, Байтуган, где «бай» присоединяется к личному имени.

Суффикс «-ов» в конце — это уже чисто русское добавление, которое фамилия получила при русификации. В тюркской среде носитель звался бы просто Байшигаш, а в русских документах (ревизских сказках, метриках) к основе приставили патронимический суффикс, означающий принадлежность: «чей?» — Байшигашев, со временем закрепившись как Байшигашов. Это обычная история для фамилий тюркского происхождения, попавших в русскую языковую среду в XVIII–XIX веках: ср. Баширов, Каримов, Сафиуллин — везде русский суффикс накладывается на иноязычную основу.

Географически фамилия, скорее всего, привязана к регионам, где издавна жили тюркские народы в тесном контакте с русскими: Оренбургская, Астраханская, Самарская губернии, Башкирия, Татарстан, а также Западный Казахстан. Встретить Байшигашова в чисто русской глубинке (например, в Архангельской области) почти невозможно — фамилия чётко маркирует смешанное или тюркское происхождение предков.

Сословная принадлежность, скорее всего, была крестьянской или казачьей. Тюркские фамилии с «бай» в основе редко встречались у дворянства (хотя исключения есть, например, князья Байковы). Обычно такие фамилии носили государственные крестьяне, однодворцы или казаки (особенно уральские и оренбургские), которые часто перенимали тюркские прозвища.

В итоге: Байшигашов — это фамилия-гибрид. Она говорит о том, что ваш предок носил тюркское имя или прозвище Байшигаш, которое в русском делопроизводстве «обрусело» с помощью суффикса -ов. Корень указывает на связь с богатством или уважением («бай») и, вероятно, с личным именем Шигаш (арабского происхождения). Это не случайная фамилия, а прямой маркер этнической истории: она рассказывает о человеке из тюркской среды, который жил в Российской империи и чья фамилия была записана по русским правилам.