Фамилия Бажежа — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет привычных русских фамильных суффиксов (-ов, -ин, -ский), что сразу указывает: перед нами не стандартная «патронимическая» модель, а, скорее всего, прозвищное или географическое образование, либо фамилия, занесённая в русскую среду из другого языка.

Скорее всего, основа «бажеж» восходит к диалектному или профессиональному слову. В южнорусских и украинских говорах «бажати» означает «желать, хотеть», а «бажання» — желание. Отсюда «бажежа» могло быть прозвищем человека, который постоянно чего-то добивался, был настойчивым или, наоборот, капризным в своих желаниях. В этом случае фамилия образована по беспадежной модели (как Баламута, Несмеяна), что характерно для прозвищ, застывших в именительном падеже.

Нельзя исключать и версию о географическом происхождении. В Польше есть село Божежа (Bożeża) в Люблинском воеводстве, а в Чехии — деревня Божеж (Božež). Если предок носителя фамилии был выходцем оттуда, то при адаптации на русской почве «Божежа» могло перейти в «Бажежа» под влиянием аканья или просто из-за искажения при записи. Такая трансформация — «о» в «а» в безударном положении — типична для южнорусских и белорусских говоров.

Ещё одна, менее вероятная гипотеза — связь с тюркскими языками. В тюркском «бажа» означает «свояк» (муж сестры жены). Если к этой основе добавить аффикс, фамилия могла бы означать «принадлежащий свояку» или быть прозвищем, данным по родству. Но для уверенного утверждения этой версии не хватает данных о бытовании фамилии в регионах с сильным тюркским влиянием.

Фамилия Бажежа встречается крайне редко, в основном на юге России и в Украине. Из-за редкости и нестандартной формы точное значение установить сложно, но наиболее реалистичным выглядит объяснение через диалектное «бажежа» — желание, настойчивость. Предок, получивший такое прозвище, мог быть человеком упорным, страстно желавшим чего-то, или, наоборот, привередливым.