Фамилия Бажеева — женская форма фамилии Бажеев. В основе лежит мужское личное имя или прозвище Бажей. Это краткая форма от канонического имени Бажен, которое в свою очередь происходит от древнерусского нецерковного имени Бажен (Бажан) — «желанный», «милый», «любимый». Имя давали долгожданному ребёнку, которого наконец вымолили у Бога. Корень «баж-» в русских говорах означал «сильное желание», «страсть», «охота»; отсюда глагол «бажать» — хотеть, жаждать.

Фамилия Бажеев (и её женская форма) распространена на Урале и в Сибири, особенно в Пермском крае и Курганской области. Это не случайно: именно в этих регионах в XVII–XVIII веках активно селились выходцы из северных и центральных губерний, и нецерковные имена вроде Бажен долго сохранялись в быту. В переписных книгах Верхотурского уезда XVII века встречаются крестьяне с именем Баженко, Бажко — уменьшительные варианты того же корня.

Суффикс -ев (вместо более ожидаемого -ов) указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или на -й. В имени Бажен конечный согласный твёрдый, но в разговорной речи форма Бажей дала мягкий исход, отсюда и написание Бажеев, а не Баженов. К слову, фамилия Баженов гораздо более распространена, но Бажеев встречается реже и, скорее всего, восходит к той же основе через стяжённую форму.

Встречается также версия, что Бажеев могло образоваться от прозвища Баж — так в некоторых говорах называли колдуна или знахаря, «баюна» (от «баять» — заговаривать, лечить). Однако это менее вероятно, так как корень «баж-» со значением «желание» гораздо шире представлен в ономастике, и имя Бажен фиксируется в источниках с XIV века.

Таким образом, если вы носите фамилию Бажеева, ваши предки, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми из северного русского Поморья или Урала, а родоначальника звали Бажен или Бажей — желанным и любимым сыном.