Фамилия Баженина — женская форма, а её мужской вариант Баженин. В основе лежит неканоническое имя или прозвище Баженя, которое образовали от глагола «бажать» — хотеть, желать, стремиться. В старых русских говорах «баженый» означало «желанный, любимый», отсюда и смысл имени: так могли назвать долгожданного ребёнка. Это типичная модель для русских фамилий на -ин: суффикс указывал на принадлежность, буквально «чей?» — «сын Бажени».

В отличие от распространённых фамилий на -ов, Баженин встречается реже, но корень у неё не единичный. Есть однокоренные Бажанов, Баженов, Бажутин — все они восходят к тому же «бажать» с разными суффиксами. В ономастике это группа «желанных» имён, которые давали детям не по святцам, а по народной традиции. В словаре Б. Унбегауна такие фамилии отмечены как характерные для северных и центральных областей России.

Носители фамилии исторически могли быть крестьянами или посадскими людьми, поскольку имя Баженя не было ни княжеским, ни церковным. В документах XVII века встречаются, например, крестьянин Баженка из новгородских земель. Географически фамилия чаще встречается в Вологодской, Архангельской и Пермской областях — там, где «бажать» сохранялось в живой речи дольше всего.

Женская форма Баженина не отличается по происхождению: она просто указывает на женщину из рода Бажениных. В современном русском языке ударение обычно падает на второй слог — Баже́нина, хотя в диалектах могло смещаться. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, в их роду был человек по имени или прозвищу Баженя — желанный, любимый ребёнок.