Фамилия Баженская — женская форма фамилии Баженский, и её разбор стоит начать с мужского варианта, потому что именно от него всё и пошло. В основе лежит нецерковное имя или прозвище Бажен. В древнерусском языке «баженый» означало «желанный», «любимый», «долгожданный». Так называли ребёнка, которого наконец-то дождались в семье, особенно если до него детей не было или они умирали. Имя Бажен было широко распространено в XV–XVII веках, его носили люди разных сословий — от крестьян до бояр. Встречается оно и в документах той эпохи: например, в новгородских писцовых книгах упоминается крестьянин Бажен.

Суффикс -ск- в фамилии Баженский (а значит, и Баженская) указывает на географическое или топонимическое происхождение. Такие фамилии обычно получали не по отцу, а по месту жительства или владения. Человек, прозванный Баженом, мог стать основателем деревни или усадьбы, которую назвали Баженово или Баженское. Выходцы из такого места и получали фамилию Баженские. Иногда суффикс -ск- добавляли к основе для благозвучия, чтобы подчеркнуть принадлежность к дворянскому роду, но это не обязательно — в России множество крестьянских фамилий на -ский.

География фамилии Баженская и Баженский разбросана по всей России, но заметная концентрация — в центральных областях, особенно в Тверской, Ярославской и Московской губерниях. Это объяснимо: именно там чаще всего встречались деревни с корнем «бажен» в названии. Есть и однокоренные фамилии — Баженов, Бажанов, Баженин. Разница в суффиксе: Баженов — типичная отчество от имени Бажен («чей сын?» — Баженов), а Баженский — указание на место. Поэтому предки носительницы фамилии Баженская, скорее всего, жили в населённом пункте с таким именем или владели им.

В словаре Бориса Унбегауна «Русские фамилии» форма Баженский упоминается как вариант, производный от того же корня, что и Баженов. Сам корень — древний, славянский, без тюркских или иных заимствований. Фамилия не редкая, но и не массовая; её носители встречаются в истории среди духовенства и купечества, хотя точных имён без специального генеалогического поиска не назвать. Если ваша фамилия Баженская, то вы носите память о предке, которого когда-то ждали и любили, а потом его именем назвали целую деревню.