Фамилия Бегайдарова — женская форма, мужской вариант — Бегайдаров. В основе почти наверняка лежит тюркское мужское имя Бегайдар, которое составлено из двух частей: «бек» (князь, господин, вождь) и «айдар» (чуб, хохол, коса, которую оставляли на бритой голове). У многих тюркских народов «айдар» — не просто причёска, а знак посвящения, оберег, который мальчику не стригли до определённого возраста или посвящали духам-покровителям. Соответственно, Бегайдар — это «княжеский айдар», «господин с чубом», то есть имя-оберег, указывающее на знатность или на то, что ребёнок находится под особой защитой.

Суффикс -ов в мужском варианте — классический русский патронимический формант, который в XVI–XIX веках приращивали к инородческим именам при переходе на фамилии. Это значит, что предок носительницы фамилии, скорее всего, был крещёным татарином, башкиром или казахом, которого в документах записали по отцу: «Бегайдаров сын» со временем превратилось в фамилию.

Географически фамилия тяготеет к Оренбуржью, Башкортостану и западному Казахстану — зоне активных контактов русского населения с тюркскими родами. Встречаемость невысокая, что говорит о локальном происхождении: возможно, от конкретного родоначальника в одном ауле или станице. Интересно, что имя Айдар и его производные (Айдаров, Айдаровы) встречаются гораздо чаще, а вот форма с приставкой «бек-» встречается реже, что делает Бегайдаровых более узкой родовой ветвью.

Никакой связи с фамилией Бегаев или Бегичев здесь нет — это разные корни. В написании через «ё» (Бегайдёрова) фамилия не зафиксирована, ударение, судя по тюркской основе, падает на последний слог: Бегайдаро́ва.