Фамилия Бегунава — один из ярких примеров фамилий, образованных в западнорусских землях по польской или украинской модели. Её основа — не прилагательное и не профессия, а глагол в повелительном наклонении. Разбираем по порядку.

Корень «бег-» (от «бежать») и формант «-ава» дают значение «беги». Похожая словообразовательная модель встречается у фамилий Держава, Палива, Ховава. В польском и украинском языках такие прозвища давали человеку с живым, подвижным характером, непоседе, который постоянно куда-то спешит. В прямом смысле — «бегун», но с оттенком призыва или насмешки: «ну и бегает же этот Бегунава».

Фамилия явно невеликорусская: для русского уха суффикс «-ава» нехарактерен. В России человека скорее назвали бы Бегуновым. А вот в Беларуси, на западе Украины или в южных областях Польши такое окончание — норма. Бегунава мог появиться как прозвище, а затем закрепиться в качестве фамилии у крестьян или казаков. Сословно — это не дворянская фамилия (у дворян чаще встречаются окончания на -ский), а скорее крестьянская или мещанская.

Обратите внимание на ударение. В большинстве говоров оно падает на последний слог — Бегунава́, что тоже выдает западнославянское влияние. Вариантов написания немного: в старых документах могли записать Бегунаво, если путали с украинским окончанием на -о.

Коротко: предки носителя фамилии Бегунава, скорее всего, жили на территории современной Беларуси или западной Украины, а прозвище получили за резвость и подвижность. Никакой тайны — просто меткая характеристика, ставшая родовым именем.