Фамилия Беклишев — скорее всего, фонетический вариант более известной фамилии Беклешев. Разница в написании (и/е) не меняет смысла: оба варианта восходят к одному прозвищу — Беклеш. Его основа — тюрко-булгарское слово «беклявше», что значит «запирающий, начальник сторожевого поста». В турецком есть однокоренной глагол bekle — «сторожить». Так что прозвище Беклеш было «профессиональным»: оно указывало на род занятий предка, скорее всего связанного с охраной или сторожевой службой.

В истории известен род Беклешевых (в старых записях встречается и написание Бекляшевы). Они записаны в детях боярских и дворянах с 1619 года. По семейному преданию, этот род ведет начало от Беклеша — сына Мухаммеда Булгарина, который распространял ислам в Мещере в XIII веке, а затем принял православие. В последующие века среди Беклешевых были сподвижники Петра I, военные, моряки, сенаторы и губернаторы.

Таким образом, фамилия Беклишев образована от прозвища Беклеш по обычной модели: к основе добавился русский суффикс принадлежности -ев (в варианте на -иш он перешел в -ев). Потомок человека, которого в окружении звали Беклеш, со временем получил фамилию Беклишев.