Фамилия Белегай — редкий случай, когда географический след почти наверняка перевешивает все остальные версии. Подавляющее большинство носителей этой фамилии в России, на Украине и в Беларуси ведут родословную из одного места — Закарпатья, а точнее, из окрестностей Мукачево и Ужгорода. Там, в селах, где говорят на переходных говорах между украинским, словацким и венгерским, фамилия Белегай встречается плотнее всего.

Разбор основы ведет либо к венгерскому «belég» — «вздыхать», либо к румынскому «beleg» — «больной, немощный». Оба корня давали прозвища: вздыхающего, тяжелого на подъем человека или, наоборот, хилого. Но в венгерской среде прозвища на -gay/-gaj встречаются чаще как раз для описания характера. Поэтому первая версия — прозвище человека, который часто и тяжело вздыхал, возможно, от усталости или печали.

Суффикс -ай (-gaj) в этой фамилии — не русский, а западнославянский или венгерский. В русской ономастике такие окончания почти не встречаются, а в украинском и польском языках они образуют прозвища от глаголов (ср. «гуляй», «стреляй»). Так что Белегай — это не «сын Белеги», а скорее «тот, кто белегает», то есть вздыхает. Фамилия застыла в форме глагольного прозвища, которое дали предку за манеру поведения.

Есть и более прозаичная версия: в некоторых говорах «белега» — диалектное название белой глины или известняка. Тогда Белегай мог быть человеком, жившим у белых обрывов, либо добывавшим известь. Но эта версия слабее — она не объясняет венгерский суффикс, который в фамилии ключевой.

Сословно фамилия не аристократическая. В метрических книгах XIX века Белегаи — крестьяне и ремесленники из закарпатских сел. Никаких дворянских родов с этой фамилией не зафиксировано. В современной России Белегаи редки, но если встретите — скорее всего, это потомки переселенцев из Закарпатья, уехавших на восток в советское время.