Фамилия Берлянская — редкий случай, когда основа слова не даёт однозначного ответа, но суффикс подсказывает почти всё. Окончание -ская указывает на типично польско-украинскую или дворянскую модель образования: такие фамилии получали по названию имения, местечка или усадьбы (по такому же принципу возникли Замойские, Потоцкие, Вишневецкие). Соответственно, предок Берлянской — или владелец, или уроженец места под названием Берляны, Берлянка, Берлянск.

С корнем сложнее. Самая прямая версия — топоним восходит к диалектному слову «берля»: в юго-западных говорах так называли бревно, колоду, а иногда и неуклюжего, неповоротливого человека. Если поселение назвали по рельефу (например, «Берляны» — село на брёвнах, то есть на сваях, у болотистой речки), то фамилия — географическая метка. Если же основой стало прозвище «Берля» (нескладный, тяжёлый на подъём человек), то перед нами переход прозвища в фамилию по модели «чей?» — Берлянский, то есть сын Берли. Но в таком случае следовало бы ждать формы Берлин или Берляев, а суффикс -ский для прямого отчества нехарактерен, так что версия с топонимом правдоподобнее.

Есть и третья, менее очевидная нить: в еврейской ономастике фамилия Берлянская могла возникнуть от имени Берл (народная форма Бер — медведь, идиш) с добавлением славянского суффикса -янск-/-анск-. Так часто оформляли фамилии в черте оседлости, особенно на Волыни и в Подолье. В этом случае Берлянская — не про бревно, а про «медвежий» род, что вполне соответствует традиции давать «звериные» фамилии для защиты от сглаза.

Географически фамилия встречается в основном на западе Украины (Львовская, Тернопольская области) и в соседних районах Польши. В России она редка, и почти все носители — потомки переселенцев с запада во времена Столыпинской реформы или после Второй мировой войны. Сословная принадлежность, скорее всего, была мещанской или крестьянской: шляхетские Берлянские если и существовали, то относились к мелкопоместной, «застенковой» шляхте, которая в XVIII–XIX веках часто теряла документы и записывалась в однодворцы.

Старые написания могли варьироваться: Берлянскій, Берляньска, Берлянская. В метрических книгах XIX века встречается вариант через «е» — Берленская, что подтверждает связь с названием села Берлены (такое есть в Житомирской области). Если ваши предки писали фамилию через «я», это скорее говорит о польском влиянии: в польском «Berlański» читается именно с мягким «л».